Андрей Смирнов
Время чтения: ~14 мин.
Просмотров: 0

Допуски формы и расположения поверхностей

На плоскости

Перпендикулярные прямые на плоскости

Две прямые на плоскости называются перпендикулярными, если при пересечении образуют 4 прямых угла.

Про прямую m{\displaystyle m} перпендикулярную к прямой ℓ{\displaystyle \ell } проведённую через точку P{\displaystyle P} вне прямой ℓ{\displaystyle \ell }, говорят, что m{\displaystyle m} есть перпендикуляр опущенный из P{\displaystyle P} на ℓ{\displaystyle \ell }.
Если же точка P{\displaystyle P} лежит на прямой ℓ{\displaystyle \ell }, то говорят, что m{\displaystyle m} есть перпендикуляр к восстановленный из P{\displaystyle P} к ℓ{\displaystyle \ell } (устаревший термин восставленный).

В координатах

В аналитическом выражении прямые, заданные линейными функциями

y=a⋅x+b{\displaystyle y=a\cdot x+b}

и

y=k⋅x+m{\displaystyle y=k\cdot x+m}

будут перпендикулярны, если выполнено следующее условие на их угловые коэффициенты

a⋅k=−1.{\displaystyle a\cdot k=-1.}

Построение перпендикуляра

Построение перпендикуляра

Шаг 1: С помощью циркуля проведём полуокружность с центром в точке P, получив точки А и В.

Шаг 2: Не меняя радиуса, построим две полуокружности с центром в точках A и В соответственно, проходящими через точку P. Кроме точки P есть ещё одна точка пересечения этих полуокружностей, назовём её Q.

Шаг 3: Соединяем точки P и Q. PQ и есть перпендикуляр к прямой AB.

Координаты точки основания перпендикуляра к прямой

Пусть прямая задаётся точками A(xa,ya){\displaystyle A(x_{a},y_{a})} и B(xb,yb){\displaystyle B(x_{b},y_{b})}. На прямую опускается перпендикуляр из точки P(xp,yp){\displaystyle P(x_{p},y_{p})}.
Тогда основание перпендикуляра O(xo,yo){\displaystyle O(x_{o},y_{o})} можно найти следующим образом.

Если xa=xb{\displaystyle x_{a}=x_{b}} (вертикаль), то xo=xa{\displaystyle x_{o}=x_{a}} и yo=yp{\displaystyle y_{o}=y_{p}}.
Если ya=yb{\displaystyle y_{a}=y_{b}} (горизонталь), то xo=xp{\displaystyle x_{o}=x_{p}} и yo=ya{\displaystyle y_{o}=y_{a}}.

Во всех остальных случаях:

xo=xa⋅(yb−ya)2+xp⋅(xb−xa)2+(xb−xa)⋅(yb−ya)⋅(yp−ya)(yb−ya)2+(xb−xa)2{\displaystyle x_{o}={\frac {x_{a}\cdot (y_{b}-y_{a})^{2}+x_{p}\cdot (x_{b}-x_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})\cdot (y_{b}-y_{a})\cdot (y_{p}-y_{a})}{(y_{b}-y_{a})^{2}+(x_{b}-x_{a})^{2}}}};
yo=(xb−xa)⋅(xp−xo)(yb−ya)+yp{\displaystyle y_{o}={\frac {(x_{b}-x_{a})\cdot (x_{p}-x_{o})}{(y_{b}-y_{a})}}+y_{p}}.

Посадки

Соединяя вал и отверстие одного и того же номинального размера, можно получить в зависимости от величины зазора или натяга различный характер соединения, называемый посадкой.

«Посадка определяет характер соединения двух вставленных одна в другую деталей и обеспечивает в той или иной степени, за счёт разности фактических размеров, свободу их относительного перемещения или прочность их неподвижного соединения»

Таким образом посадка в зависимости от того, будет ли зазор или натяг и в зависимости от их величин даёт возможность валу свободно двигаться в отверстии или, наоборот, даёт неподвижное соединение вала с отверстием. Все посадки в связи с этим разделяют на две основные группы:

1) посадки подвижные, обеспечивающие возможность относительного перемещения соединённых деталей во время их работы; эта возможность обеспечивается наличием зазоров;

2) посадки неподвижные, при которых соединённые детали во время их работы не должны перемещаться одна относительно другой, что достигается наличием натягов.

Каждая из этих двух основных групп подразделяется на ряд отдельных посадок, характеризующихся большим или меньшим натягом (посадки неподвижные), или большим или меньшим зазором (посадки подвижные); соответственно характеру, им и даны названия. Располагая посадки в таком порядке, что первая в группе неподвижных будет с наибольшим натягом, а последняя в группе подвижных с наибольшим зазором, получим ряд, в который входит двенадцать посадок:

Неподвижные посадки

1) горячая посадка,

2) прессовая посадка,

3) легко-прессовая посадка,

4) глухая посадка,

5) тугая посадка,

6) напряжённая посадка,

7) плотная посадка.

Подвижные посадки

1) посадка скольжения,

2) посадка движения,

3) ходовая посадка,

4) легко-ходовая посадка,

5) широко-ходовая посадка.

К группе подвижных относится посадка скольжения, которая по своему характеру находится на границе посадок неподвижных и подвижных; у ней наименьший зазор равен нулю. В нашей системе эта посадка отнесена к подвижным потому, что в среднем у неё имеется зазор.

Параллельные прямые – основные сведения.

Напомним сначала определения параллельных прямых, которые были даны в статьях прямая на плоскости и прямая в пространстве.

Определение.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.

Определение.

Две прямые в трехмерном пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Обратите внимание, что оговорка «если они лежат в одной плоскости» в определении параллельных прямых в пространстве очень важна. Поясним этот момент: две прямые в трехмерном пространстве, которые не имеют общих точек и не лежат в одной плоскости не являются параллельными, а являются скрещивающимися.. Приведем несколько примеров параллельных прямых

Противоположные края тетрадного листа лежат на параллельных прямых. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямые.

Приведем несколько примеров параллельных прямых. Противоположные края тетрадного листа лежат на параллельных прямых. Прямые, по которым плоскость стены дома пересекает плоскости потолка и пола, являются параллельными. Железнодорожные рельсы на ровной местности также можно рассматривать как параллельные прямые.

Для обозначения параллельных прямых используют символ «». То есть, если прямые а и b параллельны, то можно кратко записать аb.

Обратите внимание: если прямые a и b параллельны, то можно сказать, что прямая a параллельна прямой b, а также, что прямая b параллельна прямой a.

Озвучим утверждение, которое играет важную роль при изучении параллельных прямых на плоскости: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Это утверждение принимается как факт (оно не может быть доказано на основе известных аксиом планиметрии), и оно называется аксиомой параллельных прямых.

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых (ее доказательство Вы можете найти в учебнике геометрии 10-11 класс, который указан в конце статьи в списке литературы).

Для случая в пространстве справедлива теорема: через любую точку пространства, не лежащую на заданной прямой, проходит единственная прямая, параллельная данной. Эта теорема легко доказывается с помощью приведенной выше аксиомы параллельных прямых.

Зависимые допуски

Эта категория объединяет разрешённые отклонения, для которых допускается их превышение на определённую величину. Величина этого превышения должна соответствовать разрешённой разнице параметра между реальной поверхностью и выбранной базой. Зависимый допуск расположения вычисляется на основании разработанных формул, на основании указанных значений. Альтернативой этому параметру является независимый допуск. Его значение всегда является постоянной величиной, не зависит от других параметров. Обозначение обоих видов отклонений производится на соответствующих сносках.

Тригонометрические функции

Современные обозначения «sin», «tg» (tan), «sec» ввел датчанин Томас Финке в 1583 году. Однако датский ученый писал эти символы с точкой на конце. От этой точки избавился в 1632 году Уильям Отред.

«Cos», «ctg» (cot), «cosec» (csc) — эти символы встречались у различных авторов, среди которых следует упомянуть Джонаса мура (1674 год) и Сэмюэля Джейка (1696 год), но они их писали также с точкой на конце. Точку у косинуса убрал в 1729 году Леонард Эйлер, а у котангенса и косеканса Авраам Кестнер в 1758 году.

Обратные тригонометрические функции с приставкой «arc» начал обозначать австрийский математик Карл Шерфер. Однако в среде ученых это обозначение прижилось только после выхода в свет работ Лагранжа. Правда немецкая и английская школы долгое время старались обозначать эти функции как 1/sin и аналогично.

Фигуры с перпендикулярными прямыми

Одной из первых фигур, с которыми знакомится человек, являются квадрат и прямоугольник.

Прямые углы приятны человеческому взгляду, поэтому очень часто квадрат или прямоугольник используют как форму для столешниц, стульев, тумбочек и других предметов. Весь окружающий человека мир составлен из параллельных и перпендикулярных линий.

Рис. 2. Квадрат.

Еще со времен Древней Греции известен прямоугольный треугольник. Форму прямоугольного треугольника принимали различные приборы для навигации, кроме того много времени изучению свойств прямоугольного треугольника уделил Пифагор. Именно его авторству принадлежит Теорема Пифагора, которая крайне востребована в решениях задач.

Существует прямоугольная трапеция, у которой одна из сторон прямоугольна обоим основанием. А планометрия и вовсе пестрит перпендикулярами в пространстве: правильная призма, прямоугольная пирамида и самый обычный куб.

К тому же, в любом треугольнике можно провести высоту, что необходимо для нахождения площади фигуры. Перпендикуляр для нахождения площади пригодится и в параллелограмме, а прямоугольный треугольник и квадрат имеют высоту в составе своих сторон, из-за чего площадь этих фигур гораздо проще найти.

Рис. 3. Высота.

Что мы узнали?

Мы разобрали, что такое перпендикулярные прямые, поговорили о свойствах перпендикуляров и описали фигуры, для построения которых необходимы перпендикулярные прямые. Разобрались в теме для полного понимания при первой встрече с данным вопросом в 6 классе.

Знаки сложения и вычитания

Плюс и минус.

В 15 веке символы «+» и «-» уже активно использовались человечеством, правда откуда они точно взялись и кто их ввел в обиход достоверно неизвестно. Предполагают, что эти символы были введены в оборот виноторговцами. Когда часть вина из бочки продавали, то владелец наносил на тару горизонтальную черточку, чтобы отметить новый уровень. Затем такие черточки появлялись ниже и ниже. При доливании вина ранее нанесенные горизонтальны черточки пересекали вертикальной черточкой. Так и вышло, горизонтальная черточка «-» означала убавление, а 2 перпендикулярных «+» — прибавление.

Есть и альтернативная версия появления символа «+». Поначалу для записи выражения «a + b» использовали текст «a et b». Латинское слово «e» означает буквально союз «и». То есть было выражение «a и b». Со временем для ускорения записи отказались от «е», а «t» утратило свой хвостик и несколько сократилось в размерах.

Матрицы

Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями «||…||»)

В 1843 году англичанин Артур Кэли работал над теорией матриц. Чтобы обозначить матрицу он числа в нее заключенные стал помещать в пространство ограниченное с 2 сторон, для чего использовал по 2 прямые линии. Но современные математики предпочитают для матриц использовать большие круглые скобки. Все же идея Кэли продержалась до нашего времени. Если матрица ограничена не круглыми скобками, а вертикальными чертами (по одной с каждой стороны), то каждый математик знает, сто перед ним определитель.

Параллельность прямых — признаки и условия параллельности.

Признаком параллельности прямых является достаточное условие параллельности прямых, то есть, такое условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямых. Иными словами, выполнение этого условия достаточно для того, чтобы констатировать факт параллельности прямых.

Также существуют необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в трехмерном пространстве.

Поясним смысл фразы «необходимое и достаточное условие параллельности прямых».

С достаточным условием параллельности прямых мы уже разобрались. А что же такое «необходимое условие параллельности прямых»? По названию «необходимое» понятно, что выполнение этого условия необходимо для параллельности прямых. Иными словами, если необходимое условие параллельности прямых не выполнено, то прямые не параллельны. Таким образом, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – это условие, выполнение которого как необходимо, так и достаточно для параллельности прямых. То есть, с одной стороны это признак параллельности прямых, а с другой стороны – это свойство, которым обладают параллельные прямые.

Прежде чем сформулировать необходимое и достаточное условие параллельности прямых, целесообразно напомнить несколько вспомогательных определений.

Секущая прямая – это прямая, которая пересекает каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

При пересечении двух прямых секущей образуются восемь неразвернутых углов. В формулировке необходимого и достаточного условия параллельности прямых участвуют так называемые накрест лежащие, соответственные и односторонние углы. Покажем их на чертеже.

Теорема.

Если две прямые на плоскости пересечены секущей, то для их параллельности необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равны, или соответственные углы были равны, или сумма односторонних углов равнялась 180 градусам.

Покажем графическую иллюстрацию этого необходимого и достаточного условия параллельности прямых на плоскости.

Доказательства этих условий параллельности прямых Вы можете найти в учебниках геометрии за 7-9 классы.

Заметим, что эти условия можно использовать и в трехмерном пространстве – главное, чтобы две прямые и секущая лежали в одной плоскости.

Приведем еще несколько теорем, которые часто используются при доказательстве параллельности прямых.

Теорема.

Если две прямые на плоскости параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака следует из аксиомы параллельных прямых.

Существует аналогичное условие параллельности прямых в трехмерном пространстве.

Теорема.

Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то они параллельны. Доказательство этого признака рассматривается на уроках геометрии в 10 классе.

Проиллюстрируем озвученные теоремы.

Приведем еще одну теорему, позволяющую доказывать параллельность прямых на плоскости.

Теорема.

Если две прямые на плоскости перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

Существует аналогичная теорема для прямых в пространстве.

Теорема.

Если две прямые в трехмерном пространстве перпендикулярны к одной плоскости, то они параллельны.

Изобразим рисунки, соответствующие этим теоремам.

Все сформулированные выше теоремы, признаки и необходимые и достаточные условия прекрасно подходят для доказательства параллельности прямых методами геометрии. То есть, чтобы доказать параллельность двух заданных прямых нужно показать, что они параллельны третьей прямой, или показать равенство накрест лежащих углов и т.п. Множество подобных задач решается на уроках геометрии в средней школе. Однако следует отметить, что во многих случаях удобно пользоваться методом координат для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве. Сформулируем необходимые и достаточные условия параллельности прямых, которые заданы в прямоугольной системе координат.

Допуски расположения

Эта категория характеристик объединяет разрешённые интервалы изменения следующих геометрических параметров:

  • перпендикулярности (должны строго соблюдаться угловые характеристики между плоскостями);
  • параллельности (расстояние между отдельными элементами сохраняется в пределах разрешённых изменений на протяжении всей поверхности);
  • соосности;
  • наклона;
  • симметричности;
  • пересечения осей.

Кроме перечисленных параметров к этой категории относится так называемый  позиционный допуск. Он устанавливается для деталей, имеющих несколько отверстий, из которых в дальнейшем будет собран агрегат.  Размеры позиционного допуска отражаются между центрирующими отверстиями. Его обозначают при помощи специального знака в виде окружности, которая пересекается небольшим отрезком. Он может располагаться горизонтально или вертикально.

В современных деталях существует большое количество вариантов отклонения от параллельности. Это могут быть отклонения параллельности между плоскостями, отдельными поверхностями или целой группой, меду отверстиями. Оценка допуска параллельности производится с использованием специальной базы. Знаками допусков расположения элементов, для которых необходимо проверять параллельность служит набор специальных графических изображений. Проверка параллельности позволяет определить величину угла отклонения одной плоскости от другой.

Виды допусков расположения

Соблюдение всех размеров, разрешённых отклонений, указанных на рабочих чертежах, определяет качественную и долговечную работу собранного агрегата. С этой целью задают допуски расположения. Они определяют взаимное ориентирование и расстояния между отдельными плоскостями соседних деталей. К ним относятся следующие параметры:

  • параллельности и перпендикулярности;
  • угла наклона образованного поверхностями двух соседних деталей;
  • соосности (стабильность расстояний между валами);
  • пересечение осей;
  • симметричности (степень сохранения симметрии одной части детали относительно другой).

Допуск расположения необходим при сборке отдельных деталей устанавливаемых в готовый агрегат. Его делят на две категории: зависимый и независимый.

Отклонения и допуски расположения

От точного места взаимного расположения отдельных деталей зависит его правильное и длительное функционирование. Обеспечение правильности сборки определяет допуск расположения. Он устанавливает приемлемое ограничение параметров соседних поверхностей. Это ограничение задаётся специально выделенным полем. Отклонения расположения соседних поверхностей могут быть независимы друг от друга.

Суммарные допуски

Все виды разрешённых отклонений, указываются для конкретной части изделия. Отмеченные данные суммируются. Полученный результат называется суммарным допуском. К нему относятся:

  • параметры различных биений (радиального, торцового);
  • результирующие характеристики формы обработанной заготовки.

Итоговое значение определяется как расположение контрольных точек вдоль заданной прямой или линии более высокого порядка.

Свойства

У перпендикулярных прямых не так много свойств. Все они не требуют доказательств, так как исходят из определения перпендикулярности.

  • Если каждая из двух прямых перпендикулярны третьей, то эти прямые параллельны. А параллельны они в силу того, что получившиеся односторонние углы будут в сумме давать 180 градусов. А значит, прямые параллельны по 3 признаку параллельности. Это свойство можно доказать по любому из трех признаков параллельности.
  • Перпендикулярный отрезок от точки до прямой или отрезка будет называться расстоянием от точки до прямой.
  • Расстояние от прямой до прямой так же является перпендикуляром, опущенным из любой точки одной прямой на другую прямую.
  • Если на протяжении всей длинны двух прямых расстояние между ними не меняется, то прямые будут параллельными.

Умножение

Символы умножения.

До 17 века умножение чисел обозначали латинской буквой «М», от слова мультипликация. Но в 17 веке часть математиков вслед за англичанином Уильямом Отредом стали использовать для обозначения умножения косой крестик, который используется и в наши дни. Но не все согласились с нововведением. Предлагались для умножения звездочка «*», буква «х» и даже символ прямоугольника в начале выражения и запятая в конце.

Готфрид Лейбниц оставил заметный след в истории многих областей знаний, именно он призвал отказаться от косого крестика, поскольку его легко спутать с буквой «х» и предложил для умножения использовать точку. Однако математики, приняв обозначение Лейбница, предпочли саму точку, по возможности, не писать, впрочем, отсутствие косого крестика или точки никого не смущает, все понимают и так, что перед нами 2 сомножителя.

Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Степан Волков
Наш эксперт
Написано статей
141
Ссылка на основную публикацию
Похожие публикации