Андрей Смирнов
Время чтения: ~6 мин.
Просмотров: 1

Правильный восьмиугольник

Свойства диагоналей правильных многоугольников

  • Максимальное количество диагоналей правильного n{\displaystyle n}-угольника, пересекающихся в одной точке, не являющейся его вершиной, равно:
    • 2{\displaystyle 2}, если n{\displaystyle n} нечётно;
    • 3{\displaystyle 3}, если n{\displaystyle n} чётно, но не делится на 6{\displaystyle 6};
    • 5{\displaystyle 5}, если n{\displaystyle n} делится на 6{\displaystyle 6}, но не делится на 30{\displaystyle 30};
    • 5{\displaystyle 5}, если n{\displaystyle n} делится на 30{\displaystyle 30}.

Введём функцию δm(n){\displaystyle \delta _{m}(n)}, равную 1{\displaystyle 1} в случае, если n{\displaystyle n} делится на m{\displaystyle m}, и равную {\displaystyle 0} в противном случае. Тогда:

Количество точек пересечения диагоналей правильного n{\displaystyle n}-угольника равно Cn4+(−5n3+45n2−70n+24)/24⋅δ2(n)−(3n/2)⋅δ4(n)++(−45n2+262n)/6⋅δ6(n)+42n⋅δ12(n)+60n⋅δ18(n)++35n⋅δ24(n)−38n⋅δ30(n)−82n⋅δ42(n)−330n⋅δ60(n)−−144n⋅δ84(n)−96n⋅δ90(n)−144n⋅δ120(n)−96n⋅δ210(n){\displaystyle {\begin{array}{l}C_{n}^{4}+\left(-5n^{3}+45n^{2}-70n+24\right)/24\cdot \delta _{2}(n)-(3n/2)\cdot \delta _{4}(n)+\\+\left(-45n^{2}+262n\right)/6\cdot \delta _{6}(n)+42n\cdot \delta _{12}(n)+60n\cdot \delta _{18}(n)+\\+35n\cdot \delta _{24}(n)-38n\cdot \delta _{30}(n)-82n\cdot \delta _{42}(n)-330n\cdot \delta _{60}(n)-\\-144n\cdot \delta _{84}(n)-96n\cdot \delta _{90}(n)-144n\cdot \delta _{120}(n)-96n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}}

Где Cn4{\displaystyle C_{n}^{4}} — число сочетаний из n{\displaystyle n} по 4{\displaystyle 4}.

Количество частей, на которые правильный n{\displaystyle n}-угольник делят его диагонали, равно (n4−6n3+23n2−42n+24)/24++(−5n3+42n2−40n−48)/48⋅δ2(n)−(3n/4)⋅δ4(n)++(−53n2+310n)/12⋅δ6(n)+(49n/2)⋅δ12(n)+32n⋅δ18(n)++19n⋅δ24(n)−36n⋅δ30(n)−50n⋅δ42(n)−190n⋅δ60(n)−−78n⋅δ84(n)−48n⋅δ90(n)−78n⋅δ120(n)−48n⋅δ210(n){\displaystyle {\begin{array}{l}\left(n^{4}-6n^{3}+23n^{2}-42n+24\right)/24+\\+\left(-5n^{3}+42n^{2}-40n-48\right)/48\cdot \delta _{2}(n)-(3n/4)\cdot \delta _{4}(n)+\\+\left(-53n^{2}+310n\right)/12\cdot \delta _{6}(n)+(49n/2)\cdot \delta _{12}(n)+32n\cdot \delta _{18}(n)+\\+19n\cdot \delta _{24}(n)-36n\cdot \delta _{30}(n)-50n\cdot \delta _{42}(n)-190n\cdot \delta _{60}(n)-\\-78n\cdot \delta _{84}(n)-48n\cdot \delta _{90}(n)-78n\cdot \delta _{120}(n)-48n\cdot \delta _{210}(n)\end{array}}}

.

Использование

Правильный треугольник, десятиугольник и пятнадцатиугольник могут полностью .

Построение

Поскольку 15 = 3 × 5 является произведением различных простых чисел Ферма, правильный пятнадцатиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки:
Следующие построения правильного пятнадцатиугольника с заданной описывающей окружностью аналогично иллюстрации для утверждения XVI в книге IV Начал Евклида.

Сравнение построения с построением Евклида см. на рисунке Пятнадцатиугольник

В построении для заданной описывающей окружности: FG¯=CF¯,AH¯=GM¯,|E1E6|{\displaystyle {\overline {FG}}={\overline {CF}}{\text{,}}\;{\overline {AH}}={\overline {GM}}{\text{,}}\;|E_{1}E_{6}|} равна стороне равностороннего треугольника, а |E2E5|{\displaystyle |E_{2}E_{5}|} равна стороне правильного пятиугольника.
Точка H{\displaystyle H} делит радиус AM¯{\displaystyle {\overline {AM}}} в пропорции золотого сечения: AH¯HM¯=AM¯AH¯=1+52=Φ≈1,618.{\displaystyle {\frac {\overline {AH}}{\overline {HM}}}={\frac {\overline {AM}}{\overline {AH}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1,618{\text{.}}}

Сравнение с первой анимацией (с зелёными прямыми) приведено на следующих двух рисунках. Две дуги (для углов 36° и 24°) смещены против часовой стрелки. Построение не использует отрезок CG¯{\displaystyle {\overline {CG}}}, а вместо него использует отрезок MG¯{\displaystyle {\overline {MG}}} как радиус AH¯{\displaystyle {\overline {AH}}} для второй дуги (угол 36°).

Построение с помощью циркуля и линейки для заданной длины стороны. Построение почти такое же, что и для по заданной стороне, оно также начинается с создания отрезка как продолжения стороны, здесь FE2¯,{\displaystyle {\overline {FE_{2}}}{\text{,}}}, который делится в пропорции золотого сечения:

E1E2¯E1F¯=E2F¯E1E2¯=1+52=Φ≈1,618.{\displaystyle {\frac {\overline {E_{1}E_{2}}}{\overline {E_{1}F}}}={\frac {\overline {E_{2}F}}{\overline {E_{1}E_{2}}}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\Phi \approx 1,618{\text{.}}}

Радиус описанной окружности E2M¯=R;{\displaystyle {\overline {E_{2}M}}=R\;;\;\;}
Длина стороны E1E2¯=a;{\displaystyle {\overline {E_{1}E_{2}}}=a\;;\;\;}
Угол DE1M=ME2D=78∘{\displaystyle DE_{1}M=ME_{2}D=78^{\circ }}

R=a⋅12⋅(5+2⋅5+3)=12⋅8+2⋅5+215+6⋅5⋅a=sin⁡(78∘)sin⁡(24∘)⋅a≈2,40486⋅a{\displaystyle {\begin{aligned}R&=a\cdot {\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {5+2\cdot {\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {8+2\cdot {\sqrt {5}}+2{\sqrt {15+6\cdot {\sqrt {5}}}}}}\cdot a\\&={\frac {\sin(78^{\circ })}{\sin(24^{\circ })}}\cdot a\approx 2,40486\cdot a\end{aligned}}}

Семиугольник, выпуклый и невыпуклый семиугольник:

Семиугольник – это многоугольник с семью углами.

Семиугольник – это многоугольник, общее количество углов (вершин) которого равно семи.

Семиугольник может быть выпуклым и невыпуклым.

Выпуклым многоугольником называется многоугольник, все точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины. Невыпуклыми являются все остальные многоугольники.

Соответственно выпуклый семиугольник – это семиугольник, у которого все его точки лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние вершины.

Звёздчатый семиугольник – семиугольник, у которого все стороны и углы равны, а вершины совпадают с вершинами правильного семиугольника многоугольника. Стороны звёздчатого семиугольника могут пересекаться между собой.

Рис. 1. Выпуклый семиугольник

Рис. 2. Невыпуклый семиугольник

Сумма внутренних углов любого выпуклого семиугольника равна 900°.

Симметрия

Группы симметрии правильного восемнадцатиугольника. Симметричные вершины окрашены в одинаковые цвета. Голубые зеркала проведены через вершины, фиолетовые — через стороны. Порядки групп вращений даны в центре.

Правильный восемнадцатиугольник имеет диэдральную группу D18{\displaystyle \mathrm {D} _{18}} порядка 36{\displaystyle 36}. Имеется 5{\displaystyle 5} типов подгрупп диэдральной симметрии: D9{\displaystyle \mathrm {D} _{9}}, (D6{\displaystyle \mathrm {D} _{6}}, D3{\displaystyle \mathrm {D} _{3}}) и (D2{\displaystyle \mathrm {D} _{2}}, D1{\displaystyle \mathrm {D} _{1}}), а также 6 циклических групп симметрии: (Z18{\displaystyle \mathrm {Z} _{18}}, Z9{\displaystyle \mathrm {Z} _{9}}), (Z6{\displaystyle \mathrm {Z} _{6}}, Z3{\displaystyle \mathrm {Z} _{3}}) и (Z2{\displaystyle \mathrm {Z} _{2}}, Z1{\displaystyle \mathrm {Z} _{1}}).

На рисунке справа можно видеть 15{\displaystyle 15} подгрупп симметрии восемнадцатиугольника. Конвей использовал для их обозначения буквы вместе с порядком группы. Полная симметрия правильной фигуры будет равна r36{\displaystyle \mathrm {r} 36}, а отсутствие симметрии (то есть тривиальная группа) отмечается как a1{\displaystyle \mathrm {a} 1}. Диэдральные симметрии делятся по тому, проходят ли их оси через вершины (используется буква d{\displaystyle \mathrm {d} }, от «diagonal») или через середины сторон (используется буква p{\displaystyle \mathrm {p} }, от «perpendicular»). Если же оси симметрии проходят и через вершины, и через середины сторон, используется буква i{\displaystyle \mathrm {i} }. Циклические группы отмечаются буквой g{\displaystyle \mathrm {g} } (от «gyration»).

Все эти подгруппы могут являться диэдральными группами неправильных восемнадцатиугольников, и лишь подгруппа g18{\displaystyle \mathrm {g} 18} не даёт свободы в этом отношении, если только стороны многоугольника не рассматриваются как имеющие направление, то есть как векторы.

Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Степан Волков
Наш эксперт
Написано статей
141
Ссылка на основную публикацию
Похожие публикации