Андрей Смирнов
Время чтения: ~15 мин.
Просмотров: 0

Вращательное движение

Примеры устройств [ править | править код ]

Принцип поступательного движения реализован в чертёжном приборе — пантографе, ведущее и ведомое плечо которого всегда остаются параллельными, то есть движутся поступательно. При этом любая точка на движущихся частях совершает в плоскости заданные движения, каждая вокруг своего мгновенного центра вращения с одинаковой для всех движущихся точек прибора угловой скоростью.

Существенно, что ведущее и ведомое плечо прибора, хотя и движущиеся согласно, представляют собой два разных тела. Поэтому радиусы кривизны, по которым движутся заданные точки на ведущем и ведомом плече могут быть сделаны неодинаковыми, и именно в этом и заключается смысл использования прибора, позволяющего воспроизводить любую кривую на плоскости в масштабе, определяемом отношением длин плеч.

По сути дела пантограф обеспечивает синхронное поступательное движение системы двух тел: «читающего» и «пишущего», движение каждого из которых иллюстрируется приведённым выше чертежом.

Поступательное движение — это механическое движение твёрдого тела, при котором любой отрезок прямой, жестко связанный с движущимся телом, остается параллельным своему первоначальному положению.

Одной из важнейших характеристик движения точки является её траектория, в общем случае представляющая собой пространственную кривую, которую можно представить в виде сопряженных дуг различного радиуса, исходящего каждый из своего центра, разного для разных точек тела положение которого может меняться во времени.

В частном случае прямая может рассматриваться как дуга, радиус которой в данных условиях может считаться равным бесконечности.А движение по произвольной траектории -как набор сопряжённых дуг.

В таком случае оказывается, что при поступательном движении в каждый заданный момент времени любая точка тела совершает поворот вокруг своего мгновенного центра поворота, причём длина радиуса в данный момент одинакова для всех точек тела. Одинаковы по величине и направлению и векторы скорости точек тела, а также испытываемые ими ускорения.

Однако, поскольку траектория является понятием, относящимся к области кинематики, и не содержит информации о скоростях, в общем случае она не даёт представления ни о величине испытываемых материальной точкой сил, ни об их направлении.

Тем не менее возможны случаи, когда по условиям задачи бывает достаточно изучить движение одной какой-то произвольной материальной точки тела (например, движение центра масс тела).

Поступательно движется, например, кабина лифта или кабина колеса обозрения.

В общем случае поступательное движение происходит в трёхмерном пространстве, но его основная особенность -сохранение параллельности любого отрезка самому себе, остаётся в силе.

Математически поступательное движение эквивалентно параллельному переносу.

При решении задач теоретической механики бывает удобно рассматривать движение твердого тела как суперпозицию движения центра масс тела и вращательного движения самого тела вокруг центра масс (теорема Кёнига).

Усилие от источника к исполнительному органу может передаваться самым различным образом. Довольно большое распространение получили варианты исполнения, предназначение которых заключается в преобразовании вращательно движения в возвратно-поступательное. Подобный механизм сегодня устанавливается крайне часто. Рассмотрим разновидности, область применения и многие другие моменты подробнее.

Типы передач для поступательного движения

Встречается довольно большое количество различных устройств, которые могут применяться для преобразования передаваемого усилия. Большое распространение получили следующие варианты:

  1. Кривошипно-шатунные может применяться для преобразования вращения в возвратно-поступательное движение и наоборот. В качестве основных элементов применяется кривошипный вал, ползун, шатун и специальный элемент кривошипа. Для расчета момента и других параметров могут использоваться различные формулы. В качестве основного элемента также могут использовать коленчатый вал, который имеет одну или несколько ступеней. Они получили весьма широкое распространение, к примеру, двигатели или насосы, сельскохозяйственная техника. При изготовлении основных деталей, как правило, применяется сталь с высокой коррозионной стойкостью.
  2. Кулисные конструкции получили весьма широкое распространение, так как усилие передается без шатуна. В подобном случае ползун напоминает кулису, в которой делается специальное отверстие. На момент вращения кривошипного вала кулиса двигается вправо и налево. В некоторых случаях вместе кулисы применяется стержень с насаженной втулкой. Для обеспечения контакта применяется прижимная пружина. Существенно повысить качество работы устройства можно за счет установки ролика на конце устройства.
  3. Кулачковые варианты исполнения применяются для преобразования вращательного перемещения в возвратно-поступательное. Основным элементом конструкции можно назвать кулачки, а также стержень, криволинейный диск. Для направления положения стержня устанавливается втулка, которая характеризуется весьма высокой точностью позиционирования. Снизить степень трения поверхности можно за счет ролика. В некоторых случаях вместо стержня устанавливается касающийся рычаг. Основные параметры могут быть рассчитаны самостоятельно. Механизм возвратно-поступательного движения рассматриваемого типа применяется в самых различных случаях, к примеру, в механизированном оборудовании.
  4. Шарнирно-рычажные устройства устанавливаются в том случае, если нужно сменить направление движение в какой-либо части устройства. Примером можно назвать ситуация, когда вертикальное перемещение следует перенаправлять в горизонтальное. Кроме этого, в некоторых случаях нужно провести увеличение или уменьшение хода.

Приведенная выше информация указывает на то, что встречается просто огромное количество различных вариантов исполнения механизмов. Выбор проводится по самым различным критериям, которые должны учитываться.

Типы передач для поступательного движения

Встречается довольно большое количество различных устройств, которые могут применяться для преобразования передаваемого усилия. Большое распространение получили следующие варианты:

  1. Кривошипно-шатунные может применяться для преобразования вращения в возвратно-поступательное движение и наоборот. В качестве основных элементов применяется кривошипный вал, ползун, шатун и специальный элемент кривошипа. Для расчета момента и других параметров могут использоваться различные формулы. В качестве основного элемента также могут использовать коленчатый вал, который имеет одну или несколько ступеней. Они получили весьма широкое распространение, к примеру, двигатели или насосы, сельскохозяйственная техника. При изготовлении основных деталей, как правило, применяется сталь с высокой коррозионной стойкостью.
  2. Кулисные конструкции получили весьма широкое распространение, так как усилие передается без шатуна. В подобном случае ползун напоминает кулису, в которой делается специальное отверстие. На момент вращения кривошипного вала кулиса двигается вправо и налево. В некоторых случаях вместе кулисы применяется стержень с насаженной втулкой. Для обеспечения контакта применяется прижимная пружина. Существенно повысить качество работы устройства можно за счет установки ролика на конце устройства.
  3. Кулачковые варианты исполнения применяются для преобразования вращательного перемещения в возвратно-поступательное. Основным элементом конструкции можно назвать кулачки, а также стержень, криволинейный диск. Для направления положения стержня устанавливается втулка, которая характеризуется весьма высокой точностью позиционирования. Снизить степень трения поверхности можно за счет ролика. В некоторых случаях вместо стержня устанавливается касающийся рычаг. Основные параметры могут быть рассчитаны самостоятельно. Механизм возвратно-поступательного движения рассматриваемого типа применяется в самых различных случаях, к примеру, в механизированном оборудовании.
  4. Шарнирно-рычажные устройства устанавливаются в том случае, если нужно сменить направление движение в какой-либо части устройства. Примером можно назвать ситуация, когда вертикальное перемещение следует перенаправлять в горизонтальное. Кроме этого, в некоторых случаях нужно провести увеличение или уменьшение хода.

Приведенная выше информация указывает на то, что встречается просто огромное количество различных вариантов исполнения механизмов. Выбор проводится по самым различным критериям, которые должны учитываться.

Три закона динамики

Законы динамики были четко сформулированы И. Ньютоном в труде «Математические начала натуральной философии» в 1687 г. В этом трактате были систематизированы и обобщены результаты исследований многих ученых, изучавших причины движений до Ньютона. Поэтому эти законы носят его имя.

Первый Закон Ньютона устанавливает неизменность и вечность движения. Согласно ему, тело сохраняет покой или движется равномерно и прямолинейно, пока на него не подействуют силы, со стороны других тел.

Второй Закон Ньютона связывает меру взаимодействия тел и меру инертности тела с результатом взаимодействия. Мерой взаимодействия является сила, мерой инертности – масса. Результат взаимодействия выражается в изменении скорости – ускорении. Ускорение, получаемое телом, прямо пропорционально силе, действующей на тело, и обратно пропорционально его массе.

Третий Закон Ньютона устанавливает невозможность одностороннего приложения силы. Фактически, это закон сохранения, утверждающий, что если на тело действует сила со стороны другого тела, то на другое тело действует точно такая же сила со стороны первого. Силы эти не компенсируют друг друга потому, что приложены к разным телам.

Рис. 1. Три закона Ньютона.

Совершая прыжок, вы сообщаете некоторую силу Земле. В результате чего Земля, согласно Третьему Закону Ньютона, также сообщает вам точно такую же силу. И вы, и Земля – приобретаете некоторые ускорения, и начинаете двигаться в разных направлениях. Поскольку масса Земли примерно в $10^{23}$ раз больше вашей массы, скорость приобретенная Землей в результате вашего прыжка, будет во столько же раз меньше.

Возвратно-поступательный механизм своими руками

Существенно сэкономить можно путем создания возвратно-поступательного механизма своими руками. В некоторых случаях его делают из дрели, в других для передачи вращающего крутящего момента используется электрический двигатель.

Особенностями назовем нижеприведенные моменты:

  1. Большинство конструкций самостоятельно изготовить не получается, так как требуемые детали характеризуются высокой сложностью. Примером можно назвать сочетание кривошипного вала и шестерни.
  2. Во всех случаях должны проводится расчеты, так как в противном случае обеспечить требуемые параметры не получается.
  3. Изготовить конструкцию рассматриваемого типа можно только при наличии специального оборудования. Если устройство сделано своими силами, то его реальные параметры от расчетных могут существенно отличаться.

В целом можно сказать, что рассматриваемая задача довольно сложна в исполнении. Именно поэтому работу должны проводить исключительно профессионалы, которые могут провести сложные расчеты, а также изготовить требуемые детали.

Параметры вращательного движения

При поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям. Для вращательного движения это не так.

Рис. 1. Примеры вращательного движения тел.

При вращательном движении траектории точек тела являются окружностями с центрами, лежащими на одной прямой, называемой осью вращения. Поскольку все эти окружности имеют различные радиусы, то при вращательном движении заменить тело одной материальной точкой, и описывать вращение для этой одной точки, нельзя. При описании линейных мгновенных параметров (скорости и ускорения) необходимо учитывать радиус вращения $R$.

Но, несмотря на то, что траектории и линейные мгновенные параметры различных точек различны, при вращательном движении все точки тела за один и тот же промежуток времени поворачиваются на один и тот же угол $\alpha$. Поэтому гораздо удобнее измерять не перемещение, а угол поворота тела относительно какого-то начального положения. Все производные параметры – скорость $\omega$ и ускорение $\varepsilon$ – получаются также угловыми. В результате появляется возможность описания всего тела в целом, как единого. И лишь при необходимости переходить от угловых параметров к линейным параметрам конкретных точек.

Вычисляем момент инерции протяженного объекта

Момент инерции легко вычисляется для очень маленького (точечного) объекта, если все точки объекта расположены на одинаковом расстоянии от точки вращения. Например в предыдущем примере, если считать, что мячик для игры в гольф гораздо меньше длины нити, то все его точки находятся на одинаковом расстоянии от точки вращения, равном радиусу окружности вращения ​\( r \)​. В таком случае момент инерции имеет знакомый вид:

где \( r \) — это расстояние, на котором сосредоточена вся масса мячика \( m \).

Однако такая идеальная ситуация имеет место далеко не всегда. А чему равен момент инерции протяженного объекта, например стержня, вращающегося относительно одного из своих концов? Ведь его масса сосредоточена не в одной точке, а распределена по всей длине. Вообще говоря, для определения момента инерции протяженного объекта нужно просуммировать моменты инерции всех материальных точек объекта:

Например, момент инерции ​\( l \)​ системы из двух “точечных” мячиков для игры в гольф с одинаковой массой ​\( m \)​ на расстояниях ​\( r_1 \)​ и ​\( r_2 \)​ равен сумме их отдельных моментов инерции ​\( l_1=mr_1^2 \)​ и \( l_2=mr_2^2 \):

А как определить момент инерции диска, вращающегося относительно своего центра? Нужно мысленно разбить диск на множество материальных точек, вычислить момент инерции каждой такой точки и просуммировать полученные моменты инерции. Физики научились вычислять моменты инерции для многих объектов со стандартной формой. Некоторые из них приведены в табл. 11.1.

Попробуем вычислить моменты инерции нескольких предметов с простой геометрией.

Пример: замедление вращения компакт-диска

Компакт-диски могут вращаться с разными угловыми скоростями. Это необходимо для обеспечения одинаковой линейной скорости считывания информации на участках, находящихся на разных расстояниях от центра вращения. Пусть диск массой 30 г и диаметром 12 см сначала вращается со скоростью 700 оборотов в секунду, а спустя 50 минут — со скоростью 200 оборотов в секунду. Какой средний момент сил действует на компакт-диск при таком уменьшении скорости? Связь момента сил и углового ускорения имеет вид:

Момент инерции диска с радиусом ​\( r \)​, вращающегося относительно своего центра в плоскости диска, выражается формулой:

Подставляя значения, получим:

Теперь нужно определить угловое ускорение, которое определяется следующей формулой:

Изменение угловой скорости ​\( \Delta\omega \)​ произошло за промежуток времени:

В данном примере изменение угловой скорости:

где ​\( \omega_1 \)​ — конечная, а \( \omega_0 \) — начальная угловая скорость компакт-диска.

Чему они равны? Начальная скорость 700 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 700 раз проходит ​\( 2\pi \)​ радиан:

Аналогично, конечная скорость 200 оборотов в секунду означает, что диск за секунду 200 раз проходит \( 2\pi \) радиан:

Подставляя значения в формулу углового ускорения, получим:

Подставляя значения момента инерции и углового ускорения в итоговую формулу момента силы, получим:

Итак, средний момент равен 10-4 Н·м, а чему будет равна сила для создания такого момента, если она приложена к краю диска? Ее величину легко вычислить по следующей формуле:

Оказывается, для такого замедления компакт-диска нужно приложить не такую уж и большую силу.

Еще один пример: поднимаем груз

Вращательное движение порой внешне выглядит не так очевидно, как вращение ком- пакт-диска. Например подъем груза с помощью блока также является примером вращательного движения. Хотя канат и груз движутся поступательно, но сам блок вращается (рис. 11.2). Пусть радиус блока равен 10 см, его масса равна 1 кг, масса груза равна 16 кг, а к веревке прилагается сила 200 Н. Попробуем вычислить угловое ускорение блока.

В данном примере нужно вычислить сумму всех моментов сил ​\( \mathbf{\sum\! M} \)​, которые действуют на веревку:

В данном примере на веревку действует два момента сил: один ​\( M_1 \)​ со стороны груза весом ​\( mg \)​, а другой \( M_2 \) — со стороны горизонтальной силы ​\( F \)​:

Отсюда получаем формулу для углового ускорения:

Эти моменты ​\( M_1 \)​ и \( M_2 \) имеют одинаковое плечо, равное радиусу блока ​\( r \)​, поэтому:

Поскольку блок имеет форму диска, то из табл. 11.1 находим его момент инерции:

Подставляя выражения для ​\( l \)​, ​\( M_1 \)​ и ​\( M_2 \)​ в формулу для углового ускорения, получим:

Подставляя значения, получим:

Характеристики вращения тела[ | код]

Кинематические характеристики | код

Вращение характеризуется углом φ{\displaystyle \varphi }, измеряющимся в градусах или радианах, угловой скоростью ω=dφdt{\displaystyle \omega ={\frac {d\varphi }{dt}}} (измеряется в рад/с) и угловым ускорением ϵ=d2φdt2{\displaystyle \epsilon ={\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}} (единица измерения — рад/с²).

При равномерном вращении (T{\displaystyle T} — период вращения),

Частота вращения — число оборотов в единицу времени.

ν=1T=ω2π,{\displaystyle \nu ={1 \over T}={\omega \over 2\pi },}

Период вращения — время одного полного оборота. Период вращения T{\displaystyle T} и его частота ν{\displaystyle \nu } связаны соотношением T=1/ν{\displaystyle T=1/\nu }.

Линейная скорость точки, находящейся на расстоянии R{\displaystyle R} от оси вращения

v=2πνR=2πRT,{\displaystyle v={2\pi \nu R}={2\pi R \over T},}

Угловая скорость вращения тела — аксиальный вектор (псевдовектор).

ω=2πν=2πT.{\displaystyle \omega ={2\pi \nu }={2\pi \over T}.}

Динамические характеристики | код

Свойства твердого тела при его вращении описываются моментом инерции твёрдого тела. Эта характеристика входит в дифференциальные уравнения, полученные из уравнений Гамильтона или Лагранжа. Кинетическую энергию вращения можно записать в виде:

E=ω2J2=2π2ν2J.{\displaystyle E={\frac {\omega ^{2}J}{2}}={2\pi ^{2}\nu ^{2}J}.}

В этой формуле момент инерции играет роль массы, а угловая скорость — роль скорости. Момент инерции выражает геометрическое распределение массы в теле и может быть найден из формулы

J=∫r2dm.{\displaystyle J=\int r^{2}dm.}

Момент инерции — физическая величина, мера инертности тела во вращательном движении. Характеризует распределение масс в теле. Различают осевой и центробежный момент инерции. Осевой момент инерции определяется равенством:

Ja=∑i=1nmiri2,{\displaystyle J_{a}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}r_{i}^{2},}

где mi{\displaystyle m_{i}} — масса, ri{\displaystyle r_{i}} — расстояние от i{\displaystyle i}-й точки до оси.

Роль силы сцепления

Рассмотрим примеры вращательного движения в физике. Возьмем движение одной материальной точки – тяжелого металлического шарика от шарикоподшипника. Можно ли сделать так, чтобы он двигался по окружности? Если толкнуть шарик, то он покатится по прямой. Можно вести шарик по окружности, все время его поддерживая. Но стоит только убрать руку, и он продолжит движение по прямой линии. Из этого следует вывод, что точка может двигаться по окружности только под действием силы.

Это движение материальной точки, но в твердом теле не одна точка, а множество. Они связаны между собой, так как на них действуют силы сцепления. Именно эти силы и удерживают точки на круговой орбите. При отсутствии силы сцепления материальные точки вращающегося тела разлетелись бы, как грязь слетает с вращающегося колеса.

Мгновенное поступательное движение

Мгновенное поступательное движение и мгновенное вращение твердого тела — — Может случиться, что в некоторый момент t скорости v всех точек твердого тела геометрически равны между собой

Однако важно никогда не упускать из виду, что выражение мгновенное поступательное движение обозначает исключительно состояние скоростей всех точек твердого тела в момент t, а не действительное движение этого тела.
 . Это возможно при мгновенном поступательном движении.

Это возможно при мгновенном поступательном движении.

Таким образом, несколько мгновенных поступательных движений, совершающихся одновременно, приводятся к одному результирующему мгновенному поступательному движению.

Заметим, что при мгновенном поступательном движении только скорости точек одинаковы, а их ускорения в общем случае различны. Невозможен случай, когда скорости двух точек, не лежащих на общем перпендикуляре к скоростям, не равны друг другу по модулю, но параллельны ( рис. 51), так как для него не выполняется теорема о проекциях скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки.

Заметим, что при мгновенном поступательном движении только скорости точек одинаковы, а их ускорения в общем случае различны.

Заметим, что при мгновенном поступательном движении только скорости точек одинаковы, а их ускорения в общем случае различны.

Заметим, что при мгновенном поступательном движении только скорости точек одинаковы, а их ускорения в общем случае различны. Невозможен случай, когда скорости двух точек, не лежащих на общем перпендикуляре к скоростям, не равны друг другу по модулю, но параллельны ( рис. 51), так как для него не выполняется теорема о проекциях скоростей двух точек тела на прямую, соединяющую эти точки.

Угловая скорость плоской фигуры при мгновенном поступательном движении равна нулю, и в этом случае согласно формуле ( 7) мгновенный центр скоростей находится в бесконечности.

Покажем, что пара вращений дает мгновенное поступательное движение или, иначе, что пара мгновенных угловых скоростей эквивалентна поступательной скорости.

Вектор v, как вектор скорости мгновенного поступательного движения, есть вектор свободный; его называют также вектором-моментом пары вращений.

Отсюда следует, что пара мгновенных вращений эквивалентна мгновенному поступательному движению со скоростью, равной моменту пары.

Таким образом, пара мгновенных вращений твердого тела эквивалентна мгновенному поступательному движению со скоростью, равной векторному моменту данной пары угловых скоростей.

Здесь имеется случай пары вращений — звездочка / / совершает мгновенное поступательное движение.

Убедимся элементарными рассуждениями, что в этом случае мы действительно имеем дело с мгновенным поступательным движением. Предположим, что вендоры угловых скоростей со и — ( о перпендикулярны к плоскости чертежа; пусть будут О1 и 02 соответственно следы этих угловых скоростей на плоскости чертежа ( черт.

Скорости двух точек тела равны по модулю и направлению, следовательно, оно совершает мгновенное поступательное движение.

Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Степан Волков
Наш эксперт
Написано статей
141
Ссылка на основную публикацию
Похожие публикации