Коническое сечение

Задача на нахождение площади поверхности и объема

Пусть дан конус, радиус которого равен 10 см, а длина образующей составляет 20 см. Необходимо определить объем и площадь поверхности для этой фигуры.

Для вычисления площади S можно сразу воспользоваться формулой, записанной выше. Имеем:

S = pi*r2 + pi*r*g = 942 см2.

Для определения объема необходимо знать высоту h фигуры. Рассчитаем ее, пользуясь связью между линейными параметрами конуса. Получаем:

h = √(g2 — r2) = √(202 — 102) ≈ 17,32 см.

Теперь можно воспользоваться формулой для V:

V = 1/3*h*pi*r2 = 1/3*17,32*3,14*102 ≈ 1812,83 см3.

Отметим, что объем круглого конуса составляет третью часть от цилиндра, в который он вписан.

ПРОЕКТИВНЫЙ ПОДХОД

Проективная геометрия тесно связана с построением перспективы. Если начертить окружность на прозрачном листе бумаги и поместить под источником света, то эта окружность будет проецироваться на находящуюся ниже плоскость. При этом, если источник света расположен непосредственно над центром окружности, а плоскость и прозрачный лист параллельны, то проекция также будет окружностью (рис. 8). Положение источника света называется точкой схода. Она обозначена буквой V. Если V расположена не над центром окружности или если плоскость не параллельна листу бумаги, то проекция окружности принимает форму эллипса. При еще большем наклоне плоскости большая ось эллипса (проекции окружности) удлиняется, и эллипс постепенно переходит в параболу; на плоскости, параллельной прямой VP, проекция имеет вид параболы; при еще большем наклоне проекция принимает вид одной из ветвей гиперболы.

Каждой точке на исходной окружности соответствует некоторая точка на проекции. Если проекция имеет вид параболы или гиперболы, то говорят, что точка, соответствующая точке P, находится в бесконечности или бесконечно удалена.

Как мы видели, при подходящем выборе точек схода окружность может проецироваться в эллипсы различных размеров и с различными эксцентриситетами, а длины больших осей не имеют прямого отношения к диаметру проецируемой окружности. Поэтому проективная геометрия не имеет дела с расстояниями или длинами самими по себе, ее задача – изучение отношения длин, которое сохраняется при проецировании. Это отношение можно найти с помощью следующего построения. Через любую точку P плоскости проведем две касательные к любой окружности и соединим точки касания прямой p. Пусть другая прямая, проходящая через точку P, пересекает окружность в точках C₁ и C₂, а прямую p – в точке Q (рис. 9). В планиметрии доказывается, что PC₁/PC₂ = –QC₁/QC₂. (Знак минус возникает из-за того, что направление отрезка QC₁ противоположно направлениям других отрезков.) Иначе говоря, точки P и Q делят отрезок C₁C₂ внешним и внутренним образом в одном и том же отношении; говорят также, что гармоническое отношение четырех отрезков равно —1. Если окружность спроецировать в коническое сечение и сохранить за соответствующими точками те же обозначения, то гармоническое отношение (PC₁)(QC₂)/(PC₂)(QC₁) останется равным —1. Точка P называется полюсом прямой p относительно конического сечения, а прямая p – полярой точки P относительно конического сечения.

Когда точка P приближается к коническому сечению, поляра стремится занять положение касательной; если точка P лежит на коническом сечении, то ее поляра совпадает с касательной к коническому сечению в точке P. Если точка P расположена внутри конического сечения, то построить ее поляру можно следующим образом. Проведем через точку P любую прямую, пересекающую коническое сечение в двух точках; проведем касательные к коническому сечению в точках пересечения; предположим, что эти касательные пересекаются в точке P₁. Проведем через точку P еще одну прямую, которая пересекается с коническим сечением в двух других точках; допустим, что касательные к коническому сечению в этих новых точках пересекаются в точке P₂ (рис. 10). Прямая, проходящая через точки P₁ и P₂, и есть искомая поляра p. Если точка P приближается к центру O центрального конического сечения, то поляра p удаляется от O. Когда точка P совпадает с O, то ее поляра становится бесконечно удаленной, или идеальной, прямой на плоскости. См. также ПРОЕКТИВНАЯ ГЕОМЕТРИЯ.

Преимущества дорожных конусов

Относительно любого другого вида ограждения конусы дорожные пластиковые легки, мобильны и просты в установке. В них нельзя запутаться, как в ленте, с их монтажом справится один человек, нет особых правил, кроме задания по их размещению – всё просто. У конусов есть ещё ряд свойств, которые делают их незаменимыми:

• простота транспортировки. Поскольку их можно складывать друг в друга, не нужны объёмная тара и габаритные грузовики для перевозки. Благодаря малым весу и размеру достаточно «каблучка» для ограждения или разметки большого участка;
• для расстановки конусов не требуется специально подготовленная площадка. Они легко устанавливаются на дороге, газонах, в других местах на специальной подставке. Если же в дело вмешивается ветер, то достаточно насыпать внутрь песок или положить пару камней – то, что есть под рукой. Можно воспользоваться специальной вставкой, утяжеляющей основание конуса;
• лёгкие и эластичные ограждения не наносят вреда автомобилю (в случае наезда на них) либо пешеходу при падении. Они безопасны;
• хорошо заметны. В зависимости от ситуации, могут использоваться конусы разных размеров и цветов.

Это далеко не полный список преимуществ, но изложенного достаточно, чтобы оценить пользу этих маленьких оградительных элементов.

Полярная двойственность

Зафиксируем на плоскости окружность ω{\displaystyle \omega }. Любой точке P{\displaystyle P} плоскости можно сопоставить её поляру p{\displaystyle p} относительно ω{\displaystyle \omega } — и наоборот, любой прямой можно сопоставить её полюс. Полученное преобразование, сопоставляющее точкам прямые, а прямым точки, называется полярным соответствием и является инволюцией, образы точек и прямых при таком преобразовании называются двойственными образами. Полярное соответствие может быть определено не только относительно окружности, но и относительно любой коники — в таком случае оно будет представлять собой композицию проективного преобразования, переводящего эту конику в окружность, полярного соответствия относительно этой окружности и обратного проективного преобразования.

Двойственным образом гладкой кривой будем называть множество двойственных образов всех касательных к этой кривой. Тогда верно, что двойственным образом коники также является коника. Таким образом, некоторые утверждения, например, теоремы Паскаля и Брианшона, являются полярно двойственными друг другу.

История создания

Появления такой конструкции, а так же происхождение самого названия до сих пор покрыто множеством тайн. Достоверно известно, что в 1863 году американский инженер Стивен Морзе зарегистрировал патент на изобретение спирального сверла, такого, которое известно нам и по сей день. До этого для изготовления сверла, скручивали заостренный плоский профиль.

В описании, запатентованного Стивеном Морзе спирально м сверле, нет никаких упоминаний об особой форме хвостовика, но по какой-то причине Бюро стандартов США внесло коническую форму в национальные стандарты. Считается, что изобретатель, запатентовав новую конструкцию сверла, направил опытные образцы в Бюро патентов, где была замечена и по достоинству оценена эта особенность.

Впоследствии была создана компания по производству, получившая его имя и занимавшаяся изготовлением инструмента для машиностроения. К концу 19 века компания серьезно расширилась и стала одним из ведущих производителей инструмента того времени. Произведенный ей продукт поставлялся во многие страны мира, в том числе и в Россию. За время ее существования было запатентовано еще несколько изобретений, но, ни одно из них не было связано с коническим исполнением хвостовиков инструмента. Так же есть сведения, что через какое-то время после основания сам изобретатель по неизвестным причинам покинул компанию, при этом его имя в названии сохранилось.

Так же известно еще несколько изобретателей с фамилией Морзе, живших в США в то время. И, возможно, автором этого изобретения является кто-то из них, но никакой информации, подтверждающей эту версию, нет. Поэтому официальным изобретателем конической формы хвостовика инструмента считается именно Стивен Эмброуз Морзе.

Значение конусности

Рассматривая конусность следует учитывать, что этот показатель напрямую связан с уклоном. Этот параметр определяет отклонение прямой лини от вертикального ил горизонтального положения. При этом конусность 1:3 или конусность 1:16 существенно отличается. Определение уклона характеризуется следующими особенностями:

1. Под уклоном подразумевается отношение противолежащего катета прямоугольного треугольника к прилежащему. Этот параметр еще называют тангенс угла.
2. Для расчета примеряется следующая формула: i=AC/AB=tga.

Рассчитать этот показатель можно самым различным образом, наибольшее распространение получила формула K=D/h. В некоторых случаях обозначение проводится в процентах, так как этот переменный показатель применяется для определения всех других параметров.

Рассматривая конусность 1:7 и другой показатель следует также учитывать особенности отображения информации на чертеже. Чаще всего подобное отображение проводится при создании технической документации в машиностроительной области.

Свойства[править | править код]

где S — площадь основания, H — высота. Таким образом, все конусы, опирающиеся на данное основание (конечной площади) и имеющие вершину, находящуюся на данной плоскости, параллельной основанию, имеют равный объём, поскольку их высоты равны.

• Телесный угол при вершине прямого кругового конуса равен

где — угол раствора конуса.

Площадь боковой поверхности такого конуса равна

Площадь поверхности такого конуса равна

где — радиус основания, — длина образующей.

Объём кругового конуса равен

Для усечённого конуса (не обязательно прямого и кругового) объём равен:

где S₁ и S₂ — площади соответственно верхнего (ближнего к вершине) и нижнего оснований, h и H — расстояния от плоскости соответственно верхнего и нижнего основания до вершины.

Пересечение плоскости с прямым круговым конусом является одним из конических сечений (в невырожденных случаях — эллипсом, параболой или гиперболой, в зависимости от положения секущей плоскости).

Конус Морзе и метрический конус

Конус Морзе № 2 (MT2).

Схема инструментального конуса (наружные конусы с лапкой, наружные конусы без лапки, внутренние конусы (гнёзда)).

Конус Морзе — одно из самых широко применяемых креплений инструмента. Был предложен Стивеном А. Морзе приблизительно в 1864 году.

Конус Морзе подразделяется на восемь размеров, от КМ0 до КМ7 (англ. Morse taper, MT0-MT7, нем. Morsekegel, MK0-MK7). Конусность от 1:19,002 до 1:20,047 (угол конуса от 2°51’26″ до 3°00’52″, уклон конуса от 1°25’43″ до 1°30’26″) в зависимости от типоразмера.

Стандарты на конус Морзе: ISO 296, DIN 228, ГОСТ 25557-2016 «Конусы инструментальные. Основные размеры.». В российском стандарте конус КМ7 к применению не рекомендован, вместо него применяется несовместимый метрический конус № 80. Конусы, изготовленные по дюймовым и метрическим стандартам, взаимозаменяемы во всём, кроме резьбы хвостовика.

Существует несколько исполнений хвостовика конуса: с лапкой, с резьбой и без них. Инструмент с лапкой крепится в шпинделе заклиниванием этой лапки, для чего в рукаве некоторых шпинделей есть соответствующий паз. Лапка предназначена для облегчения выбивания конуса из шпинделя и предотвращения проворачивания. Инструмент с внутренней резьбой фиксируется в шпинделях штоком (штревелем), вворачивающимся в торец конуса. Конусы с резьбой гарантируют невыпадение инструмента и облегчают извлечение заклинившего конуса из шпинделя. Шпиндель обычно делается под один из вариантов фиксации — с лапкой, со штревелем или с фиксацией трением. Поскольку угол конуса меньше чем угол трения, фиксация хвостовика в гнезде может также происходить только за счет сил трения, без использования штревелей и лапок.

Некоторые конусы снабжаются системой отверстий и канавок для подачи смазочно-охлаждающей жидкости (СОЖ).

Метрический конус

По мере развития станкостроения понадобилось расширить диапазон размеров конусов Морзе как в большую, так и в меньшую стороны. При этом, для новых типоразмеров конуса, выбрали конусность ровно 1:20 (угол конуса 2°51’51″, уклон конуса 1°25’56″) и назвали их метрическими конусами (англ. Metric Taper). Типоразмер метрических конусов указывается по наибольшему диаметру конуса в миллиметрах. ГОСТ 25557-2016 также определяет уменьшенные метрические конуса № 4 и № 6 (англ. ME4, ME6) и большие метрические конуса № 80, 100, 120, 160, 200 (англ. ME80 — ME200).

Конструктивных различий между конусом Морзе и метрическим нет.

Таблица 1

Обозначение конуса
Конусность
D
D₁
d
d₁
d₂
d_{3 max}
d_{4 max}
d₅
l_{1 max}
l_{2 max}
l_{3 max}
l_{4 max}
l_{5 min}
l₆
Метрический
№ 4
1:20
4
4,1
2,9
—
—
—
2,5
3
23
25
—
—
25
21

№ 6
1:20
6
6,2
4,4
—
—
—
4
4,6
32
35
—
—
34
29

Морзе
КМ0
1:19,212
9,045
9,2
6,4
—
6,1
6
6
6,7
50
53
56,3
59,5
52
49

КМ1
1:20,047
12,065
12,2
9,4
M6
9
8,7
9
9,7
53,5
57
62
65,5
56
52

КМ2
1:20,020
17,780
18
14,6
M10
14
13,5
14
14,9
64
69
75
80
67
62

КМ3
1:19,992
23,825
24,1
19,8
M12
19,1
18,5
19
20,2
80,1
86
94
99
84
78

КМ4
1:19,254
31,267
31,6
25,9
M16
25,2
25,2
24
26,5
102,5
109
117,5
124
107
98

КМ5
1:19,002
44,399
44,7
37,6
M20
36,5
35,7
35,7
38,2
129,5
136
149,5
156
135
125

КМ6
1:19,180
63,348
63,8
53,9
M24
52,4
51
51
54,6
182
190
210
218
188
177

КМ7
1:19,231
83,058

—

285.75

294.1

Метрический
№ 80
1:20
80
80,4
70,2
M30
69
67
67
71,5
196
204
220
228
202
186

№ 100
1:20
100
100,5
88,4
M36
87
85
85
90
232
242
260
270
240
220

№ 120
1:20
120
120,6
106,6
M36
105
102
102
108,5
268
280
300
312
276
254

№ 160
1:20
160
160,8
143
M48
141
138
138
145,5
340
356
380
396
350
321

№ 200
1:20
200
201
179,4
M48
177
174
174
182,5
412
432
460
480
424
388

1. Отсутствует в ГОСТ 25557-2006

Укороченные конуса Морзе

Для многих применений длина конуса Морзе оказалась избыточной. Поэтому были придуманы девять типоразмеров укороченных конусов Морзе, полученных «удалением» примерно половины исходных конусов. Цифра в обозначении укороченного конуса — округлённый диаметр новой толстой части конуса в мм. Российский стандарт на укороченные конуса ГОСТ 9953-82 «Конусы инструментов укороченные. Основные размеры.». В скобках приведены обозначения по старому ГОСТ 9953-67 (с буквой a конуса, у которых осталась более тонкая часть, а с буквой b — более толстая).

• B7 (0a) — укороченный до 14 мм КМ0.
• B10 (1a), B12 (1b) — укороченный до 18 и 22 мм соответственно КМ1.
• B16 (2a), B18 (2b) — укороченный до 24 и 32 мм соответственно КМ2.
• B22 (3a), B24 (3b) — укороченный до 45 и 55 мм соответственно КМ3.
• B32 (4b) — укороченный до 57 мм КМ4.
• B45 (5b) — укороченный до 71 мм КМ5.

Траектории в поле гравитации и подобных сил

В рамках классической механики траектория движения материальной точки или жесткого сферически симметричного тела в поле силы, подчиняющейся закону обратных квадратов, является одним из конических сечений — параболой, гиперболой, эллипсом (в частности кругом) или прямой. В случае, когда такая сила является силой притяжения, возможны (в зависимости от начальных условий) все эти траектории, если же это сила отталкивания, то возможны только прямые и гиперболы.

Траектория движения тела (или его центра массы в случае любого неточечного тела) в поле однородной постоянной силы в рамках классической механики — точная парабола.

Этот вывод справедлив не только для фиксированного (неподвижного) положения центра силы, но и для взаимодействия двух точечных или сферических тел сравнимой массы. Второе утверждение в рамках классической механики является точным (на практике настолько точным, насколько точно сила взаимодействия удовлетворяет закону обратных квадратов и отсутствуют другие силы). Для более чем двух взаимодействующих тел всё это вообще говоря неверно (то есть орбиты могут быть точными коническими сечениями точно только в редких частных случаях — при подобранных специальных начальных условиях), однако может быть хорошим приближением в случае одного массивного центрального тела и сравнительно слабо взаимодействующих гораздо менее массивных остальных, в частности, для Солнечной системы в целом, за исключением малых небесных тел, которые иногда слишком сильно сближаются с планетами.

Физически ситуация может относится как к взаимодействию точечных (имеющих очень малый размер по сравнению с расстоянием до других тел) или сферических тел под действием сил гравитации, подчиняющихся закону всемирного тяготения (этот закон является довольно хорошим приближенным описанием реального гравитационного взаимодействия в большинстве случаев, с которыми мы сталкиваемся в пределах Солнечной системы) и/или электростатических сил, подчиняющихся закону Кулона.

Для того, чтобы траектории тел были коническими сечениями важно, чтобы соблюдались условия на количество и/или массы взаимодействующих тел, описанные выше, а также чтобы в идеале отсутствовали (практически же были пренебрежимо малыми, или, иногда, хорошо скомпенсированными) все другие силы, как например силы аэродинамического сопротивления (для этого, например, нужен достаточная разреженность среды, вакуум), потери на излучение (в случае движения электрически заряженных тел они могут быть существенны, в рамках ньютоновской гравитации такие потери всегда равны нулю, однако в реальности потери на излучение гравитационных волн могут быть заметны при взаимодействии близких массивных и быстро движущихся объектов). Кроме обычного аэродинамического сопротивления могут быть существенными такие силы, как сила давления и сила сопротивления, обусловленные солнечным ветром

При движении космических тел, как правило, эти условия выполняются по крайней мере в какой-то степени, так что коническое сечение является приемлемым, а часто и очень хорошим, приближением реальной орбиты (в течение какого-то времени).

В Солнечной системе орбиты планет — с достаточно хорошим приближением эллипсы (отклонение от точной эллиптичности больше всего у Меркурия), траектории комет — эллипсы, гиперболы нередко траектории комет «почти параболические» (см. также Небесная механика).
Траектория полёта пушечного ядра в гравитационном поле Земли без учёта влияния воздуха — дуга эллипса близкого к параболе (поскольку скорость ядра гораздо меньше первой космической).

В небольшой (по сравнению с радиусом Земли) лаборатории гравитационное поле можно считать однородным постоянным. Если в такой лаборатории достаточно хорошо откачать воздух, то траектория камня, брошенного в ней, будет практически точной параболой (или прямой). При обычных условиях (присутствие воздуха) траектории брошенных тел вообще говоря достаточно сильно отличаются от парабол и прямых (за исключением строго вертикального броска), однако при малых скоростях и небольших расстояниях полета могут быть довольно близки к параболе.

Объем, площади боковой и полной поверхностей конуса и усеченного конуса

      Введем следующие обозначения

      Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности конуса, а также формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности усеченного конуса.

      Замечание 3. Формула для вычисления объема конуса

может быть получена из формулы объема правильной n – угольной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      Замечание 4. Формула для вычисления объема усеченного конуса

может быть получена из формулы объема правильной усеченной n – угольной пирамиды

при помощи предельного перехода, когда число сторон правильной усеченной пирамиды n неограниченно возрастает. Однако доказательство этого факта выходит за рамки школьной программы.

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике.

Вывод уравнений конических сечений.

Любое коническое сечение можно также определить как кривую, по которой плоскость пересекается с квадратичной поверхностью, т.е. с поверхностью, задаваемой уравнением второй степени f (x, y, z) = 0. По-видимому, конические сечения были впервые распознаны именно в этом виде, а их названия (см. ниже) связаны с тем, что они были получены при пересечении плоскости с конусом z2 = x2 + y2. Пусть ABCD – основание прямого кругового конуса (рис. 7) с прямым углом при вершине V. Пусть плоскость FDC пересекает образующую VB в точке F, основание – по прямой CD и поверхность конуса – по кривой DFPC, где P – любая точка на кривой. Проведем через середину отрезка CD – точку E – прямую EF и диаметр AB. Через точку P проведем плоскость, параллельную основанию конуса, пересекающую конус по окружности RPS и прямую EF в точке Q. Тогда QF и QP можно принять, соответственно, за абсциссу x и ординату y точки P. Получившаяся кривая будет параболой.

Построение, представленное на рис. 7, можно использовать для вывода общих уравнений конических сечений. Квадрат длины отрезка перпендикуляра, восстановленного из любой точки диаметра до пересечения с окружностью, всегда равен произведению длин отрезков диаметра. Поэтому

y2 = RQЧQS.

Для параболы отрезок RQ имеет постоянную длину (так как при любом положении точки P он равен отрезку AE), а длина отрезка QS пропорциональна x (из соотношения QS/EB = QF/FE). Отсюда следует, что

где a – постоянный коэффициент. Число a выражает длину фокального параметра параболы.

Если угол при вершине конуса острый, то отрезок RQ не равен отрезку AE; но соотношение y2 = RQЧQS эквивалентно уравнению вида

где a и b – постоянные, или, после сдвига осей, уравнению

являющемуся уравнением эллипса. Точки пересечения эллипса с осью x (x = a и x = –a) и точки пересечения эллипса с осью y (y = b и y = –b) определяют соответственно большую и малую оси. Если угол при вершине конуса тупой, то кривая пересечения конуса и плоскости имеет вид гиперболы, и уравнение приобретает следующий вид:

или, после переноса осей,

В этом случае точки пересечения с осью x, задаваемые соотношением x2 = a2, определяют поперечную ось, а точки пересечения с осью y, задаваемые соотношением y2 = –b2, определяют сопряженную ось. Если постоянные a и b в уравнении (4a) равны, то гипербола называется равнобочной. Поворотом осей ее уравнение приводится к виду

xy = k.

Теперь из уравнений (3), (2) и (4) мы можем понять смысл названий, данных Аполлонием трем основным коническим сечениям. Термины «эллипс», «парабола» и «гипербола» происходят от греческих слов, означающих «недостает», «равен» и «превосходит». Из уравнений (3), (2) и (4) ясно, что для эллипса y2 b2/a) x, для параболы y2 = (a) x и для гиперболы y2 > (2b2/a) x. В каждом случае величина, заключенная в скобки, равна фокальному параметру кривой.

Сам Аполлоний рассматривал только три общих типа конических сечений (перечисленные выше типы 2, 3 и 9), но его подход допускает обобщение, позволяющее рассматривать все действительные кривые второго порядка. Если секущую плоскость выбрать параллельной круговому основанию конуса, то в сечении получится окружность. Если секущая плоскость имеет только одну общую точку с конусом, его вершину, то получится сечение типа 5; если она содержит вершину и касательную к конусу, то мы получаем сечение типа 8 (рис. 6,б); если секущая плоскость содержит две образующие конуса, то в сечении получается кривая типа 4 (рис. 6,а); при переносе вершины в бесконечность конус превращается в цилиндр, и если при этом плоскость содержит две образующие, то получается сечение типа 6.

Если на окружность смотреть под косым углом, то она выглядит как эллипс. Взаимосвязь между окружностью и эллипсом, известная еще Архимеду, становится очевидной, если окружность X2 + Y2 = a2 с помощью подстановки X = x, Y = (a/b) y преобразовать в эллипс, заданный уравнением (3a). Преобразование X = x, Y = (ai/b) y, где i2 = –1, позволяет записать уравнение окружности в виде (4a). Это показывает, что гиперболу можно рассматривать как эллипс с мнимой малой осью, или, наоборот, эллипс можно рассматривать как гиперболу с мнимой сопряженной осью.

Соотношение между ординатами окружности x2 + y2 = a2 и эллипса (x2/a2) + (y2/b2) = 1 непосредственно приводит к формуле Архимеда A = pab для площади эллипса. Кеплеру была известна приближенная формула p (a + b) для периметра эллипса, близкого к окружности, но точное выражение было получено лишь в 18 в. после введения эллиптических интегралов. Как показал Архимед, площадь параболического сегмента составляет четыре третьих площади вписанного треугольника, но длину дуги параболы удалось вычислить лишь после того, как в 17 в. было изобретено дифференциальное исчисление.