Андрей Смирнов
Время чтения: ~13 мин.
Просмотров: 1

Восьмиугольник, виды, свойства и формулы

Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника

Пример:

  • t — длина стороны восьмиугольника
  • r — радиус вписанной окружности
  • R — радиус описанной окружности
  • S — площадь восьмиугольника
  • k — константа, равная (1+2){\displaystyle (1+{\sqrt {2}})} ≈ 2,414213562373095

Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной kt{\displaystyle kt}, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:

r=k2t{\displaystyle r={\frac {k}{2}}t}

Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:

R=tkk−1{\displaystyle R=t{\sqrt {\frac {k}{k-1}}}}

Площадь правильного восьмиугольника:

Через сторону восьмиугольника

S=2kt2=2(1+2)t2≃4.828t2.{\displaystyle S=2kt^{2}=2(1+{\sqrt {2}})t^{2}\simeq 4.828\,t^{2}.}

Через радиус описанной окружности

S=4sin⁡π4R2=22R2≃2.828R2.{\displaystyle S=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828\,R^{2}.}

Через апофему (высоту)

A=8tan⁡π8r2=8(2−1)r2≃3.314r2.{\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.}

Правильный восьмиугольник (понятие и определение):

Правильный восьмиугольник (октагон) – это правильный многоугольник с восемью сторонами.

В свою очередь правильный многоугольник – это многоугольник, у которого все стороны и углы одинаковые.

Правильный восьмиугольник – это восьмиугольник, у которого все стороны равны, а все внутренние углы равны 135°.

Рис. 3. Правильный восьмиугольник

Правильный восьмиугольник имеет 8 сторон, 8 углов и 8 вершин.

Углы правильного восьмиугольника образуют восемь равнобедренных треугольников.

Правильный восьмиугольник можно построить с помощью циркуля и линейки: проведя к сторонам квадрата серединные перпендикуляры и соединив точки их пересечения с описанной окружностью квадрата с его сторонами.

Литература

  • Pierre Wantzel. Recherches sur les moyens de Reconnaître si un Problème de géométrie peau se résoudre avec la règle et le compas // Journal de Mathématiques. — 1837. — С. 366–372.
  • W. W. Rose Ball, H. S. M.Coxeter. Mathematical recreations and Essays. — Thirteenth edition. — New York: The MacMillan company, 1947. — С. 141.

    Перевод: Математические эссе и развлечения / перевод Н.И. Плужниковой, А.С.Попова, Г.М. Цукерман, под редакцией И.М.Яглома. — Москва: «Мир», 1986. — С. 156.

  • John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Chapter 20, Generalized Schaefli symbols, Types of symmetry of a polygon // The Symmetries of Things. — Chaim Goodman-Strauss, 2008. — С. 275—278. — ISBN 978-1-56881-220-5.
  • Branko Grünbaum. Metamorphoses of polygons // The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History. — 1994.
  • Jay Bonner. Islamic geometric pattens. — Springer, 2017. — ISBN 978-1-4419-0216-0.
  • Nielsen D. Design & Nature V: Comparing Design in Nature with Science and Engineering // Fifth international conference on comapring design in nature with science engineering / Angelo Carpi, C. A. Brebbia. — WIT Press, 2010. — ISBN 978-1-84564-454-3.
  • Вёрман К. История искусств всех времен и народов. — Москва, Берлин: Директ-медиа, 2015. — Т. 3 Книга2-3. — ISBN 978-5-4475-3827-9.

Применение восьмиугольников

Дорожный знак «Движение без остановки запрещено»

Восьмиугольный план Купола Скалы

В странах, принявших Венскую конвенцию о дорожных знаках и сигналах (в том числе в России), а также во многих других странах, знак «Движение без остановки запрещено» имеет вид красного восьмиугольника.

Восьмиугольные формы часто используются в архитектуре. Купол Скалы имеет восьмиугольный план. Башня Ветров в Афинах — ещё один пример восьмиугольной структуры. Восьмиугольный план встречается также в архитектуре церквей, таких как Собор Святого Георгия (Аддис-Абеба), Сан-Витале (в городе Равенна, Италия), Замок Кастель-дель-Монте (Апулия, Италия), Флорентийский баптистерий и . Центральное пространство в Ахенский собор, Капелла Карла Великого имеют планы в виде правильного восьмиугольника.

Построение

Точное построение

Проводим большую окружность k₁ (будущую описанную окружность семнадцатиугольника) с центром O.
Проводим её диаметр AB.
Строим к нему перпендикуляр m, пересекающий k₁ в точках C и D.
Отмечаем точку E — середину DO.
Посередине EO отмечаем точку F и проводим отрезок FA.
Строим биссектрису w₁ угла ∠OFA.
Строим w₂ — биссектрису угла между m и w₁, которая пересекает AB в точке G.
Проводим s — перпендикуляр к w₂ из точки F.
Строим w₃ — биссектрису угла между s и w₂. Она пересекает AB в точке H.
Строим окружность Фалеса (k₂) на диаметре HA. Она пересекается с CD в точках J и K.
Проводим окружность k₃ с центром G через точки J и K. Она пересекается с AB в точках L и N

Здесь важно не перепутать N с M, они расположены очень близко.
Строим касательную к k₃ через N.

Точки пересечения этой касательной с исходной окружностью k₁ — это точки P₃ и P₁₄ искомого семнадцатиугольника. Если принять середину получившейся дуги за P₀ и отложить дугу P₀P₁₄ по окружности три раза, все вершины семнадцатиугольника будут построены.

Примерное построение

Следующее построение хоть и приблизительно, но гораздо более удобно.

  1. Ставим на плоскости точку M, строим вокруг неё окружность k и проводим её диаметр AB;
  2. Делим пополам радиус AM три раза по очереди по направлению к центру (точки C, D и E).
  3. Делим пополам отрезок EB (точка F).
  4. строим перпендикуляр к AB в точке F.

Вкратце: строим перпендикуляр к диаметру на расстоянии 9/16 диаметра от B.

Точки пересечения последнего перпендикуляра с окружностью являются хорошим приближением для точек P₃ и P₁₄.

При этом построении получается относительная ошибка в 0,83%. Углы и стороны получаются таким образом немного больше, чем нужно. При радиусе 332,4 мм сторона получается длиннее на 1 мм.

Признаки и свойства

Не всегда получается верно идентифицировать пятиугольник. Для этого математики предлагают признаки, которые применимы только к правильной фигуре. К ним можно отнести следующие:

Стороны равны между собой.
Любой угол правильного пятиугольника равен остальным его углам.

Следует отметить, что признаки справедливы для любого правильного многогранника. Пять осей симметрии имеет правильный пятиугольник (сколько сторон, столько и осей). Пентагон обладает некоторыми свойствами, которые будут очень полезны при решении задач. К ним можно отнести следующие:


Равенство сторон.
Углы равны по 108 градусов.
Центры вписанной и описанной окружностей совпадают.
Сумма внутренних углов равна 180 * (5 – 2) = 540 (градусов), а внешних – 360.
Количество диагоналей соответствует 5.
Значение площади кольца, которое образуется между вписанным и описанным кругами, эквивалентно произведению квадрата длины стороны на константу Pi / 4.
Биссектрисы, проведенные через центр, равны.
Диагонали — трисектрисы внутренних углов. Одна диагональ делит его на 1/3 и 2/3 части.
Отношение диагонали к стороне эквивалентно «золотому сечению» и равно [1 + 5^(1/2)] / 2.

Другие восемнадцатиугольники фигуры

Звёздчатые 18{\displaystyle 18}-угольники имеют символы {18n}{\displaystyle \{18/n\}}. Существует два правильных звёздчатых многоугольника: 185{\displaystyle {18/5}} и {187}{\displaystyle \{18/7\}}. Они используют те же самые вершины, но соединяют каждую пятую или седьмую вершину. Имеются также составные восемнадцатиугольники: {182}{\displaystyle \{18/2\}} эквивалентен 2{9}{\displaystyle 2\{9\}} (двум девятиугольникам), {183}{\displaystyle \{18/3\}} эквивалентен 3{6}{\displaystyle 3\{6\}} (трём шестиугольникам), {184}{\displaystyle \{18/4\}} и {188}{\displaystyle \{18/8\}} эквивалентны 2{92}{\displaystyle 2\{9/2\}} и 2{94}{\displaystyle 2\{9/4\}} (двум эннеаграммам), {186}{\displaystyle \{18/6\}} эквивалентен 6{3}{\displaystyle 6\{3\}} (6{\displaystyle 6} равносторонним треугольникам), и, наконец, {189}{\displaystyle \{18/9\}} эквивалентен 9{2}{\displaystyle 9\{2\}} (девять двуугольников).

Составные и звёздчатые многоугольники
n123456789
ВидВыпуклый многоугольникСоставныеЗвёздчатый многоугольникСоставнойЗвёздчатый многоугольникСоставной
Рисунок

{181}{\displaystyle \{18/1\}} = {18}{\displaystyle \{18\}}

{182}{\displaystyle \{18/2\}} = 2{9}{\displaystyle 2\{9\}}

{183}{\displaystyle \{18/3\}} = 3{6}{\displaystyle 3\{6\}}

{184}{\displaystyle \{18/4\}} = 2{92}{\displaystyle 2\{9/2\}}

{185}{\displaystyle \{18/5\}}

{186}{\displaystyle \{18/6\}} = 6{3}{\displaystyle 6\{3\}}

{187}{\displaystyle \{18/7\}}

{188}{\displaystyle \{18/8\}} = 2{94}{\displaystyle 2\{9/4\}}

{189}{\displaystyle \{18/9\}} = 9{2}{\displaystyle 9\{2\}}

Внутренний угол160∘{\displaystyle 160^{\circ }}140∘{\displaystyle 140^{\circ }}120∘{\displaystyle 120^{\circ }}100∘{\displaystyle 100^{\circ }}80∘{\displaystyle 80^{\circ }}60∘{\displaystyle 60^{\circ }}40∘{\displaystyle 40^{\circ }}20∘{\displaystyle 20^{\circ }}∘{\displaystyle 0^{\circ }}

Более глубокие усечения правильного многоугольника и правильной эннеаграммы дают равноугольные (вершинно-транзитивные) промежуточные восемнадцатиугольники с находящимися на равном расстоянии вершинами и двумя длинами сторон. Другие усечения дают двойное покрытие: t{98}={188}=2{94},t{94}={184}=2{92},t{92}={182}=2{9}{\displaystyle \mathrm {t} \{9/8\}=\{18/8\}=2\{9/4\},\;\mathrm {t} \{9/4\}=\{18/4\}=2\{9/2\},\;\mathrm {t} \{9/2\}=\{18/2\}=2\{9\}}.

Вершинно-транзитивные усечения девятиугольника и эннеаграмм
КвазиправильныеИзогональныеКвазиправильныеДвойное покрытие

t9=18{\displaystyle \mathrm {t} {9}={18}}

t98=188{\displaystyle \mathrm {t} {9/8}={18/8}}=294{\displaystyle =2{9/4}}

t95=185{\displaystyle \mathrm {t} {9/5}={18/5}}

t94=184{\displaystyle \mathrm {t} {9/4}={18/4}}=292{\displaystyle =2{9/2}}

t97=187{\displaystyle \mathrm {t} {9/7}={18/7}}

t92=182{\displaystyle \mathrm {t} {9/2}={18/2}}=29{\displaystyle =2{9}}

Многоугольники Петри

Правильный восемнадцатиугольник является многоугольником Петри для ряда политопов, что показано в косоортогональных проекциях на :

Восемнадцатиугольные многоугольники Петри
A17B9D10E7

17-симплекс

Эннеракт

>

Свойства

Координаты

Пусть xC{\displaystyle x_{C}} и yC{\displaystyle y_{C}} — координаты центра, а R{\displaystyle R} — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, ϕ{\displaystyle {\phi }_{0}} — угловая координата первой вершины, тогда декартовы координаты вершин правильного n-угольника определяются формулами:

xi=xC+Rcos⁡(ϕ+2πin){\displaystyle x_{i}=x_{C}+R\cos \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}
yi=yC+Rsin⁡(ϕ+2πin){\displaystyle y_{i}=y_{C}+R\sin \left({\phi }_{0}+{\frac {2\pi i}{n}}\right)}

где i=…n−1{\displaystyle i=0\dots n-1}

Размеры


Правильный многоугольник, вписанный и описанный около окружности

Пусть R{\displaystyle R} — радиус описанной вокруг правильного многоугольника окружности, тогда радиус вписанной окружности равен

r=Rcos⁡πn{\displaystyle r=R\cos {\frac {\pi }{n}}},

а длина стороны многоугольника равна

a=2Rsin⁡πn=2rtgπn{\displaystyle a=2R\sin {\frac {\pi }{n}}=2r\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}

Площадь

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{\displaystyle n} и длиной стороны a{\displaystyle a} составляет:

S=n4 a2ctg⁡πn{\displaystyle S={\frac {n}{4}}\ a^{2}\mathop {\mathrm {} } \,\operatorname {ctg} {\frac {\pi }{n}}}.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{\displaystyle n}, вписанного в окружность радиуса R{\displaystyle R}, составляет:

S=n2R2sin⁡2πn{\displaystyle S={\frac {n}{2}}R^{2}\sin {\frac {2\pi }{n}}}.

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{\displaystyle n}, описанного вокруг окружности радиуса r{\displaystyle r}, составляет:

S=nr2tgπn{\displaystyle S=nr^{2}\mathop {\mathrm {tg} } \,{\frac {\pi }{n}}}(площадь основания n-угольной правильной призмы)

Площадь правильного многоугольника с числом сторон n{\displaystyle n} равна

S=nra2{\displaystyle S={\frac {nra}{2}}},

где r{\displaystyle r} — расстояние от середины стороны до центра, a{\displaystyle a} — длина стороны.

Площадь правильного многоугольника через периметр (P{\displaystyle P}) и радиус вписанной окружности (r{\displaystyle r}) составляет:

S=12Pr{\displaystyle S={\frac {1}{2}}Pr}.

Периметр

Если нужно вычислить длину стороны an{\displaystyle a_{n}} правильного n-угольника, вписанного в окружность, зная длину окружности L{\displaystyle L} можно вычислить длину одной стороны многоугольника:

an{\displaystyle a_{n}} — длина стороны правильного n-угольника.
an=sin⁡180n⋅Lπ{\displaystyle a_{n}=\sin {\frac {180}{n}}\cdot {\frac {L}{\pi }}}

Периметр Pn{\displaystyle P_{n}} равен

Pn=an⋅n{\displaystyle P_{n}=a_{n}\cdot n}

где n{\displaystyle n} — число сторон многоугольника.

Площадь через квадрат

Площадь правильного восьмиугольника можно вычислить как площадь усечённого квадрата.

Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

S=A2−a2,{\displaystyle S=A^{2}-a^{2},}

где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

Если задана сторона a, то длина A равна

A=a2+a+a2=(1+2)a≈2.414a.{\displaystyle A={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}

Тогда площадь равна:

S=((1+2)a)2−a2=2(1+2)a2≈4.828a2.{\displaystyle S=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}

Площадь через A (ширину восьмиугольника)

S=2(2−1)A2≈0.828A2.{\displaystyle S=2({\sqrt {2}}-1)A^{2}\approx 0.828A^{2}.}

Ещё одна простая формула площади:

 S=2aA.{\displaystyle \ S=2aA.}

Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

a≈A2.414.{\displaystyle a\approx A/2.414.}

Два катета углового треугольника можно получить по формуле

e=(A−a)2.{\displaystyle e=(A-a)/2.}

Симметрия

11 симметрий правильного восьмиугольника. Линии зеркальных отражений показаны цветом — синие линии проходят через вершины, фиолетовые проходят через середины рёбер, число поворотов указано в центре. Вершины раскрашены согласно симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет группу симметрии Dih8 порядка 16. Имеется 3 диэдральные подгруппы — Dih4, Dih2 и Dih1, а также 4 циклические подгруппы — Z8, Z4, Z2 и Z1. Последняя подгруппа подразумевает отсутствие симметрии.

Правильный восьмиугольник имеет 11 различных симметрий. Джон Конвей обозначил полную симметрию как r16 . Диэдральные симметрии делятся на симметрии, проходящие через вершины (обозначены как d — от diagonal), или через рёбра (обозначены как p — от perpendiculars). Циклические симметрии в среднем столбце обозначены буквой g и для них указан порядок группы вращения. Полная симметрия правильного восьмиугольника обозначена как r16 а отсутствие — как a1.

Примеры восьмиугольников по их симметриям

r16

d8

g8

p8

d4

g4

p4

d2

g2

p2

a1

На рисунке слева показаны типы симметрий восьмиугольников. Наиболее общие симметрии восьмиугольников — p8, восьмиугольник, построенный четырьмя зеркалами и имеющий перемежающиеся длинные короткие стороны, и d8, изотоксальный восьмиугольник, имеющий рёбра равной длины, но вершины имеют два разных внутренних угла. Эти две формы являются друг другу и имеют порядок, равный половине симметрии правильного восьмиугольника.

Каждая подгруппа симметрии даёт одну или более степеней свободы для неправильных форм. Только подгруппа g8 не имеет степеней свободы, но может рассматриваться как имеющая ориентированные рёбра.

Формулы расчёта параметров правильного восьмиугольника[править | править код]

Пример:

  • t — длина стороны восьмиугольника
  • r — радиус вписанной окружности
  • R — радиус описанной окружности
  • S — площадь восьмиугольника
  • k — константа, равная (1+2){\displaystyle (1+{\sqrt {2}})} ≈ 2,414213562373095

Так как правильный восьмиугольник можно получить соответствующим отсечением углов квадрата со стороной kt{\displaystyle kt}, радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности и площадь правильного восьмиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

Радиус вписанной окружности правильного восьмиугольника:

r=k2t{\displaystyle r={\frac {k}{2}}t}

Радиус описанной окружности правильного восьмиугольника:

R=tkk−1{\displaystyle R=t{\sqrt {\frac {k}{k-1}}}}

Площадь правильного восьмиугольника:

Через сторону восьмиугольника

S=2kt2=2(1+2)t2≃4.828t2.{\displaystyle S=2kt^{2}=2(1+{\sqrt {2}})t^{2}\simeq 4.828\,t^{2}.}

Через радиус описанной окружности

S=4sin⁡π4R2=22R2≃2.828R2.{\displaystyle S=4\sin {\frac {\pi }{4}}R^{2}=2{\sqrt {2}}R^{2}\simeq 2.828\,R^{2}.}

Через апофему (высоту)

A=8tan⁡π8r2=8(2−1)r2≃3.314r2.{\displaystyle A=8\tan {\frac {\pi }{8}}r^{2}=8({\sqrt {2}}-1)r^{2}\simeq 3.314\,r^{2}.}

Площадь через квадрат[править | править код]

Площадь правильного восьмиугольника можно вычислить как площадь усечённого квадрата.

Площадь можно также вычислить как усечение квадрата

S=A2−a2,{\displaystyle S=A^{2}-a^{2},}

где A — ширина восьмиугольника (вторая меньшая диагональ), а a — длина его стороны. Это легко показать, если провести через противоположные стороны прямые, что даст квадрат. Легко показать, что угловые треугольники равнобедренные с основанием, равным a. Если их сложить (как на рисунке), получится квадрат со стороной a.

Если задана сторона a, то длина A равна

A=a2+a+a2=(1+2)a≈2.414a.{\displaystyle A={\frac {a}{\sqrt {2}}}+a+{\frac {a}{\sqrt {2}}}=(1+{\sqrt {2}})a\approx 2.414a.}

Тогда площадь равна:

S=((1+2)a)2−a2=2(1+2)a2≈4.828a2.{\displaystyle S=((1+{\sqrt {2}})a)^{2}-a^{2}=2(1+{\sqrt {2}})a^{2}\approx 4.828a^{2}.}

Площадь через A (ширину восьмиугольника)

S=2(2−1)A2≈0.828A2.{\displaystyle S=2({\sqrt {2}}-1)A^{2}\approx 0.828A^{2}.}

Ещё одна простая формула площади:

 S=2aA.{\displaystyle \ S=2aA.}

Часто значение A известно, в то время как величину стороны a следует найти, как, например, при отрезании от квадратного куска материала углов с целью получения правильного восьмиугольника. Из формул выше имеем

a≈A2.414.{\displaystyle a\approx A/2.414.}

Два катета углового треугольника можно получить по формуле

e=(A−a)2.{\displaystyle e=(A-a)/2.}
Рейтинг автора
5
Материал подготовил
Степан Волков
Наш эксперт
Написано статей
141
Ссылка на основную публикацию
Похожие публикации